Tartaglia wurde 1951 in Glasgow geboren. Er studierte am Päpstlichen Schottischen College und an der Päpstlichen Universität Gregoriana in Rom. 1975 zum Priester geweiht war er ab 2005 Bischof von Paisley.
Kurz nach Weihnachten wurde Tartaglia positiv auf Covid-19 getestet und begab sich in Selbstisolation. Die genaue Todesursache steht der Erzdiözese zufolge noch nicht fest. Es liegt nun an Papst Franziskus, einen neuen Erzbischof zu ernennen. Bis dahin wird die Erzdiözese von einem Administrator geleitet.